DISTRIBUCIÓN NORMAL
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Iniciemos el estudio con un ejemplo gráfico para ilustrar mejor lo referente a la distribución normal.A continuación se presenta una tabla de distribución de frecuencias y los puntos medios(Xi) de los pesos en Kilos de 150 alumnos de la especialidad de Biología U.P.E.L- Maracay.
Como podemos notar al representar los datos y suavizar la curva, esta toma forma de campana. Si un polígono de frecuencias presenta la forma de campana se dice que la distribución es normal (0 distribución continua) y se le identifica como la curva normal. Se dice que la curva normal es una distribución simétrica, porque al doblar el polígono por la mitad, las dos partes del polígono coinciden y se caracteriza por tener mayor concentración de resultados en el centro de la distribución. Por otra parte, si la distribución es normal y simétrica la Media(X) = Mediana(Me) = Moda(Mo) o si la (Mediana = Me) se dice que la distribución se aproxima a la normal.
En nuestro ejemplo la Media (= 80.98) ; Mediana(= 81.31) y la Moda(= 82). Observe que estos valores son aproximados entre sí, por lo que podemos decir que esta distribución se aproxima a la normal. Los estadísticos consideran que muchas características en humanos, animales y en la naturaleza están distribuidas en forma normal aproximada. Por ejemplo, cuando representamos los pesos en Kilos en un grupo de estudiantes al azar de la especialidad de Biología, se observa que la gráfica se asemeja a la curva normal. Esto significa que la mayoría de los estudiantes tienen un peso aproximadamente igual. También habría un número menor de estudiantes cuyos puntos se ubican a los dos extremos de la curva, es decir, se encontrarían unos estudiantes con pesos mayores y otros con pesos relativamente bajo.
Tipificación de la calificación Z(o puntos Z)
La curva normal está estrechamene relacionada con los puntos Z. El punto Z dice cuantas desviaciones estándar está el punto único superior o inferior a la media.La tipificación es otra forma de interpretar punto único en una distribución, para su cálculo debemos transformar el punto único de la distribución normal en calificación Z. osea, expresando las unidades de desviaciones del punto de la distribución en unidades de desviación estándar.Esto siempre y cuando la distribución sea normal.La tipificación a calificación Z se define. Como el proceso de dividir la desviación de una calificación con respecto a la Media. Por la desviación estándar, es decir.
Donde Z representa la desviación de un punto específico con respecto a la Media(
)
Tomando los datos de la tabla, en los cuales se distribuyen normalmente con una 
Y S = 3.91. Tipifiquemos a la calificación Z el peso X= 78 kg.
Solución:
a) Datos
80.98 (Media)
S = 3.91(Desviación estándar de la muestra)
X = 78 Kg (Punto único de la distribución)
b) Como la muestra está distribuida normalmente, podemos transformar a calificación Z el punto único X= 78 utilizando la fórmula:
C) Interpretación: Así el peso X = 78 se interpreta como 0.76 desviaciones estándar por debajo de la media o -0.76 desviaciones estándar.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
La distribución normal estándar tiene µ(Media poblacional) = 0, una σ(Desviación estándar poblacional) igual a 1 y un área total bajo la curva igual a 1
Interpretación del área bajo la curva
1)Entre la media y <<1>> desviación estándar por encimade la media, se encuentra el 34,13% de todos los casos, en forma análoga entre la media y <<1>> desviación estándar por debajo de la media, se halla el 34,13% de todos los casos, o el 34.13% del área bajo la curva, se encuentrase encuentra entre la media y <<1>> desviación estándar por encima de la media y el 34.13% del área bajo la curva se encuentra entre la media y <<-1>> desviación estándar.
2) Entre la media y 2 desviaciones estándar por encima de la media, se halla el 47,72% de los casos.Puesto que la curva normal es simétrica, 47,72% del área bajo la curva, se halla entre la media y <<-2>> desviaciones estándar.
3) Entre la media y 3 desviaciones estándar se encuentra el 49.87% de los casos, o 49.87% de los casos del área bajo la curva está ubicado en ± 3 desviaciones estándar. Cuando se trata de ± 4 desviaciones estándar la interpretación es similar a ésta, sólo que se habla del 50% de los casos.
4) El 34,13% de los casos del área bajo la curva normal está entre µ y µ + 1σ ó µ y µ - 1σ
5) El 47,72% de los casos del área bajo la curva normal está entre µ y µ + 2σ ó µ - 2σ
6) El 49,87% de los casos del área bajo la curva normal está entre µ y µ + 3σ ó µ y µ - 3σ
CÁLCULO DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL
Para una mejor comprensión del área bajo la curva normal en sus efectos prácticos, determinemos el porcentaje de área entre dos puntos cualesquiera, haciendo uso de la tabla del área bajo la curva normal. La columna de la izquierda encabezada por <<Z>> representa la desviación estándar respecto a la media expresada en unidades de desviación estándar.La columna <<B>> permite determinar la proporción del área total que se halla entre un punto dado y la media.La columna <<C>> indica el área mas allá de un punto dado.
Las áreas bajo la curva normal se expresan como proporciones . Para convertirlas en porcentajes de área,, multiplique por 100
EJEMPLO
Dada una distribución normal basada en la distribución de frecuencias de los pesos en Kg, de 220 adultos con una µ = 81.6 y σ = 4.02; Si un adulto tiene un peso de 76.7 Kg.Hallar:a) Su calificación z, b) El área entre la media y su calificación Z,
Solución:
a) Como la distribución es normal y tenemos µ = 81.6 y σ = 4.02
Apliquemos la fórmula para hallar Z equivalente al peso X = 76.7 Kg
Interpretación: El peso del adulto está a 1.22 desviaciones estándar por debajo de la media, o el peso está a -1.22 desviaciones estándar.
a) Para responder a esta pregunta es conveniente ayudarnos con la figura de la curva normal en forma de campana. Ubicando el valor Z calculado en la gráfica que a suvez nos permitirá visualizar con mayor claridad cualquier situación que se desea conocer acerca de uno o más puntos en la distribución de la población.
Como Z = -1.22; Lo buscamos en la tabla que se dejará al final de esta explicación; (No aparece).En la tabla solamente se dan áreas correspondientes a los valores Z positivos. No olvides que la curva normal es simétrica; por lo tanto los valores Z negativos tendrán exactamente las mismas proporciones que sus contrapartes positivas. Así el área entre la media µ y Z= -1.22 es 0.3888
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