DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL.

 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL

 

Es un modelo probabilístico para todas aquellas variables aleatorias continuas. Lo que representa que, a través de él, se alcanza a conocer la probabilidad de ocurrencia de un definitivo valor de la variable, por lo que es una distribución de probabilidad.

Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es discreta la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero.

Para obtener la distribución, se parte de una función de densidad, la cual tiene forma exponencial de parámetro λ > 0:

  

La función de densidad como tal no permite calcular la probabilidad, pero una vez establecida f(x), la función de distribución F(x), mediante la cual se obtienen las probabilidades, se obtiene mediante integración de f(x). Por ejemplo, la probabilidad P de que la variable aleatoria tome valores comprendidos entre 0 y x es:

 

La distribución exponencial se utiliza mucho para determinar la probabilidad de que ocurra un evento tras un determinado tiempo de espera, como por ejemplo el tiempo que transcurre en la emergencia de un hospital antes de que llegue un paciente.

Con frecuencia, los eventos se refieren a la falla o avería de componentes eléctricos, electrónicos y de otros tipos. En tal caso, la distribución exponencial ayuda a estimar el tiempo que tarda un componente en fallar, y también el tiempo transcurrido entre reparaciones. A esto se le conoce como teoría de la fiabilidad.

 

Propiedades:

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Ejemplos de la distribución exponencial:

           Ejemplo 1: Las bombillas eléctricas suelen tener una duración finita, excepto la famosa bombilla de la estación de bomberos en Livermore, California, que nunca ha fallado desde que fuera encendida por primera vez, en 1901.

Supóngase que la duración de una bombilla actual sigue una distribución exponencial, con un valor esperado de 8 meses. Calcular:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bombilla dure entre 5 y 14 meses?

b) La probabilidad de que la bombilla dure más de 25 meses, sabiendo que tiene más de 11 meses en funcionamiento.

Solución a

Lo primero es encontrar el valor de λ, a través del valor esperado de la distribución E(x) = 8 meses. De acuerdo a lo dicho en la sección precedente, el valor esperado es el inverso del parámetro λ, por lo tanto:

E(x) = 1/λ → λ = 1 /E(x) = 1 / 8 = 0.125

Seguidamente se calcula la probabilidad pedida, mediante la integral dada al comienzo, pero cambiando convenientemente los límites de integración:

Seguidamente se sustituye en la función F(x) dada en la sección precedente, de la siguiente manera:

Solución b

Para responder esta cuestión se usará la propiedad de la falta de memoria, enunciada más arriba. Como se sabe que ha durado ya más de 11 meses, entonces:

s = 11 meses

El tiempo adicional para que dure 25 meses o más es:

t = 14 meses

            Ejemplo 2:

Hallar la probabilidad de que una persona tarde más de una hora revisando su correo electronico, si la distribución de probabilidades es exponencial, con parámetro λ = 0.2.

Solución

Se debe calcular P [x ≥ 60], puesto que 1 hora equivale a 60 minutos y se pide la probabilidad de que la persona tarde 60 minutos o más en revisar el correo. La probabilidad se calcula con la misma integral presentada al comienzo, solo cambiando los límites de integración:

El valor obtenido es pequeño, por lo que es muy poco probable que una persona se demore más de una hora en revisar su correo electrónico.

Estudiante: Daysi Carrero